BAC 2007 Réunion Exercice 2

1.

• Le poids $\textcolor{#caa7ff}{\vec{P}}$ est dirigé verticalement vers le bas et de valeur $\textcolor{#caa7ff}{P = m \cdot g}$
• La poussée d'Archimède $\textcolor{#caa7ff}{\vec{P}_A}$ est dirigée verticalement vers le haut et de valeur $\textcolor{#caa7ff}{P_A = \rho_{air} \cdot V \cdot g}$

2. Ici :

$$\textcolor{#caa7ff}{
P_a =
1,3 \cdot 5 \cdot 10^{-2} \cdot 9,81 \lt
1 N
\newline \text{et} \newline
P =
130 \cdot 9,81 \gt 1000
}$$

Ainsi $\textcolor{#caa7ff}{\boxed{P_a \lt!\lt P}}$

La poussée d'Archimède est donc négligeable.

3. L'objet est en chute libre donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum \vec{f} = \vec{P} = m \cdot \vec{g}
}$$

D'autre part, le référentiel est supposé Galiléen donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\sum \vec{f} = m \cdot \vec{a}
}$$

Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
m \cdot \vec{g} = m \cdot \vec{a}
\newline \iff
\vec{g} = \vec{a}
}$$

Et on a donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{a}
\begin{cases}
x = 0 \newline
z = -g
\end{cases}
\iff
\boxed{
a_x = 0 \quad a_z = -g
}
}$$

4.

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\vec{V_0}
\begin{cases}
x = \cos{\alpha} \cdot V_0
\newline
z = \sin{\alpha} \cdot V_0
\end{cases}
}
}$$

5. La vitesse étant une primitive de l'acceleration :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\vec{V}(t)
\begin{cases}
x = cste \newline
y = -g \cdot t + cste'
\end{cases}
}$$

Or à $\textcolor{#caa7ff}{t_0 = 0}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
V_{0x} = \cos \alpha \cdot V_0
\newline
V_{0z} = \sin \alpha \cdot V_0
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\vec{V}(t)
\begin{cases}
x = \cos \alpha \cdot V_0 \newline
y = -g \cdot t + \sin \alpha \cdot V_0
\end{cases}
}
}$$

6. En projection sur l'axe horizontal, le mouvement est rectiligne uniforme. En effet, $\textcolor{#caa7ff}{V_x(t)}$ est constante.

7. La position étant une primitive de la vitesse :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t) = \cos \alpha \cdot V_0 \cdot t + cste
\newline
z(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + \sin \alpha \cdot V_0 \cdot t + cste'
}$$

Or a $\textcolor{#caa7ff}{t_0 = 0s}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t_0) = 0
\newline
z(t_0) = H
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t) = \cos \alpha \cdot V_0 \cdot t
\newline
z(t) = -\frac{1}{2} g \cdot t^2 + \sin \alpha \cdot V_0 \cdot t + H
}$$

8.

$$\textcolor{#caa7ff}{
x(t) = \cos \alpha \cdot V_0 \cdot t
\iff
t = \frac{x(t)}{\cos \alpha \cdot V_0}
}$$

Ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
z(t) \newline =
-\frac{1}{2} g \cdot t^2 + \sin \alpha \cdot V_0 \cdot t + H \newline =
-\frac{1}{2} g \cdot \bigl(\frac{x(t)}{\cos \alpha \cdot V_0}\bigr)^2 + \sin \alpha \cdot V_0 \cdot \frac{x(t)}{\cos \alpha \cdot V_0} + H \newline
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
z \newline =
-\frac{1}{2} g \cdot \bigl(\frac{x(t)}{\cos \alpha \cdot V_0}\bigr)^2 + \sin \alpha \cdot V_0 \cdot \frac{x(t)}{\cos \alpha \cdot V_0} + H \newline =
-\frac{1}{2}g \cdot \frac{x^2}{V_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} + \frac{x \cdot V_0 \cdot \sin \alpha}{V_0 \cdot \cos \alpha} + H \newline =
\boxed{
-\frac{1}{2}g \cdot \frac{x^2}{V_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} + x \cdot \tan \alpha + H
}
}$$

9. C'est surement une parabole.

10. Les paramètres de lancement jouant un rôle dans le mouvement du projectile sont donc :

• La hauteur $\textcolor{#caa7ff}{H}$
• L'angle du lancer $\textcolor{#caa7ff}{\alpha}$
• La vitesse initiale $\textcolor{#caa7ff}{V_0}$

11. Pour un projectile lancé à l'horizontale : $\textcolor{#caa7ff}{\alpha = 0}$ ainsi :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\cos \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = 1
\newline
\tan \alpha = 0
}$$

On aurait alors :

$$\textcolor{#caa7ff}{
z = -\frac{1}{2}g \cdot \frac{x^2}{V_0^2} + H
}$$

Et donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\frac{x}{V_0} = \sqrt{-\frac{2(z - H)}{g}}
\newline \iff
x = V_0 \sqrt{-\frac{2(z - H)}{g}}
}$$

L'abssice x_c de son point de chute est donc telle que $\textcolor{#caa7ff}{z = 0}$ soit :

$$\textcolor{#caa7ff}{
x_c \newline =
V_0 \sqrt{-\frac{2(0 - H)}{g}} \newline =
\boxed{
V_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}
}
}$$

12. Pour $\textcolor{#caa7ff}{x_c = 100m}$ :

$$\textcolor{#caa7ff}{
V_0 \newline =
\frac{x_c}{\sqrt{\frac{2H}{g}}} \newline =
\frac{100}{\sqrt{\frac{20}{9,81}}} \newline =
\boxed{
70.0 m \cdot s^{-1}
}
}$$